• 2025-03-31 22:19:23

IMO史上最难，韦东奕封神之战。

张文龙，高考提分专家。

这个题是第50届IMO的一道竞赛题，这一届也是韦神在高二参加的在德国的数学奥林匹克竞赛的相对来说比较简单的一道题，韦东奕也就是在这一届国际奥林匹克数学竞赛当中封神。因为那道蚂蚱的题，非常著名的蚂蚱题，一战封神。

一起看下这个题，给定这个三角形ABC是一个等腰三角形，角BA、AC的平分线AD和角AB、C的平分线BE交BC和AC分别于DE两点。若这个K是三角形ADC，这个三角形这个小角，三角形的内角角B、C等于45度，这个题出的很别扭。求所有的角角B、C的可能的角度，就是说B、A、C可能有多个角度。

从题目给的条件当中看看这两条角的平分线是相交于一点的，把它设为F点应该是三角形A、B、C的内角，三角形的三个内角的平分线应该相交于点。显然如果连接CF这个点，CF这个线肯定是角ACB的角的平分线。既然CF是角ACB的平分线，那么肯定会过K点。

根据内角的定义，三个内角的角的平分线的焦点就是内角，所以K点一定在CF这个点上。再看题目的目标是让求角，就是这个角，让求角B、A、C的所有的可能角，看这个角，b、a、c是三角形的内角，它的范围肯定是在零到一百八十度范围内。

·第一个界定它的范围。

·第二个在一个三角形当中要求这个角的度数一般会通过它三角函数，通过它的三角函数值来反推这个角。大家想一下应该选余弦值还是选正弦值？在零到一百八十度范围内选余弦值更好。因为余弦在这个范围内单调，正弦不是单调的，可能会要讨论，所以求出这个角的余弦值就能判断这个角等于多少。

这是通过这样的分析。既然给定的ad是这个角的平分线，直接将那个角射出来，射角b、a、c要求它的度数直接将它射出来，显然不能设为x，因为都给到了平分线了，最少要设一个二x，这样减少计算量。

在这里先给大家埋上一个小伏笔，把它设为四x，为了便于运算，其实这就是竞赛题，一定要有这样的思维。将这个角b、a、c设成四x度，是不是就可以用未知量x表示里面的很多角？

翻译题目的条件：第一个三角形是等腰三角形，等腰三角形顶角的角的平分线，它的三线合一，既是底边的高又是底边的平分线，三线合一，所以角a、d、c应该是九十度角。ADC是九十度，这两个角的度数都可以用x来表示。角ABC是不是等于角ACD？就是等于一百八十度减四x除以二百，也就是九十度减二x度。

BE又是角ABC的平分线，是不是就可以得出角EBC的度数？角EBC是不是等于角FDC是等于四十五度减x？因为角是九十度减二x，这些角是不是都是四十五度减？同样可以得出角EC、FCF是等于四十五度减x度的。

再看还可以读出什么角？这个角的度数能不能得出来？角D、FCF是不是等于角D、FC？在直角三角形当中这是四十五度减x，这个角是等于多少？是不是四十五度加x？知道角EBK是等于四十五度给定的条件吗？角EBK是等于四十五度，这个角EBC是不是三角形的外角？三角形ABE的外角就是等于四x再加上四十五度减x，也就是角EBC是四十五度加上三x度。

角EBK是等于四十五度，角C、E、K是不是就等于角C、E、K是不是就等于三x度？将这些角度表示出来，这里是三x度，这个是四十五度，这个角EFC在三角形EFC当中是四十五度减x，这是四十五度加三x，这个角是多少？也就是九十度减二x。

将这些角度表示出来之后如何来找未知量的等量关系？因为要求三角函数值，就要找它的等式。

学过的正弦定理，这个时候就派上用场了，正弦定理就是找边角关系的。首先看在三角形c，在三角形efk和三角形ekc当中，ek比上它对应的角efk，也就是这里找到的efc是九十度减二x，这就比上三亿九十度减二x度数，它是等于fk对它的对角。

fk比上这个角是条件给定的，bk等于四十五度，三亿四十五度。由这样一个等式其实就可以用ek，ek不是ef，ek就用ek加fk表示出来。fk就等于ek乘以三亿四十五度，比上三亿九十度减去rx度，这是一个。

在三角形ekc当中，kc边比上它的对角三亿三x度数，是不是又等于ek比上三亿这个角ecf。这个ecf上面已经找到关系是四十五度减x，这样就得到了kc，也可以用ek表示出来。ek乘以三亿三x度，比上三亿四十五度减x度。

结合这两个式子看看，fk可以用ek表示出来，kc也可以用ek表示出来，是不是就可以得到fk比上kc，ek是不是就直接约掉了，就表示成了一个三角函数的比值关系三亿四十五度，再乘以三亿四十五度减x度，这上面的。

比上三亿三x度乘以三亿九十度减去二x度，就得到了fk比kc的第一个等式。这一个等式没有办法求出x的值，是不是再要找一个等式。再看既然k是三角形adc的内心，连接dk，dk这个线是不是角adc的平分线？既然是角adc的平分线也是角adc的平分线。

在三角形fdc，这个三角形当中dk是角fdc的平分线。根据角的平分线的性质分成的两边，fk比上kc是不是等于fd比上dc？根据角的平分线的性质，fk比上kc就将这个对边分成的两条线段是不是它角的两条零边比是等于fd比上dc的？

再用fd和dc利用正弦定理，就是它对角的这个边对应角的正弦值，也就是三印角，fcd和角e、fc是相等的，四十五度减x就四十五度减x角，dfc上面说到的是四十五度加x就等于三亿米，四十五度加x。

通过另外一个三角形当中又找到了一组fk比kc的等式关系，把这个作为一式，把这个作为二式，一式是不是等于二式？一是和二是不是相等？由于这个角x角是大于零小一百八十的，所以四十五度减x的这个角肯定不为零。

将这一项约掉，所以既有三印四十五度乘以三印四十五度加上x度就等于什么？这里的三印三x度再乘以三印九十度减x就得到了要求的目标角的一个等式关系。

到了这一步同学们就应该会了，就利用极化合差，等式左边是就是口三引x减去口三引九十度减x，等式右边是什么？等式右边是等于口三印五x减九十度再减去口三印九十度减x，这两项抵消掉等于口三印五x减九十度。

在这个范围内余弦是单调的，只可能是x等于五x减九十度或者x等于九十度等于x度减五x度，从而求得x等于二十二点五度或者x等于十五度，要求的目标角是四x度，是不是最后要求的目标角的值b、a、c就等于九十度或者六十秒。

这个题到底就解完了，回头看一下，就像这样一道竞赛题，给定的条件以及要利用的关系非常复杂，既围绕着三角形的内切圆的圆心来展开，里面用到了等腰三角形的性质，用到了正弦定理以及用的角的平分线定理，要同学们对平面积和知识要系统的理解的基础上，这样一道题才能做的出来。

像这样的题放到高考当中的难度是不可想象的，如果是出现在高考当中，基本上我觉得正确率不会达到百分之一，很多同学做着做着其实就迷糊了。

这个题给大家分享到这里，让我们一起做更少的题，提更多的分数。